Pembuktian Perkalian Bilangan Dengan 0 atau Bilangan Negatif

Sebelum melakukan pembuktian, saya terlebih dahulu ingin memperkenalkan beberapa sifat dalam pengoperasian bilangan :

Hukum Komutatif.  x + y = y + x

Hukum Asosiatif.  x + (y + z) = (x + y) + z

Hukum Distributif.  x (y + z) = xy + xz

Identitas.  x + 0 = x , x.1 = x

Invers  . x + (-x) = 0 , dan x (1/x) = 1

Pembuktian a x 0 = 0

a x 1                = a

a x (1 + 0)        = a

a x 1 + a x 0     = a

a + a x 0          = a

a + (-a) + a x 0 = a + (-a)

a x 0               = 0

TERBUKTI

Pembuktian a x (-1) = -a

Kita akan gunakan pernyataan di atas yang telah terbukti, yaitu a x 0 = 0

      a x 0                     = 0

      a x (1 + (-1))          = 0

      a x 1 + a x (-1)       = 0

a + a x (-1)             = 0

Sesuai hukum Invers Jumlah bahwa (a + (-a) = 0 ) , maka

a + a (-1) = a + (-a)

a (-1) = -a                                 (masing2 ruas ditambah dengan (-a) )

TERBUKTI

Pembuktian –a x 0 = 0

-a x 1                  = -a

-a (1 + 0)            = -a

-a x 1 + (-a) x 0  = -a

-a + (-a) x 0        = -a                 Masing2 ruas ditambah a

-a x 0                  = 0

TERBUKTI

Pembuktian (-a) x (-b) = ab

Kita gunakan pernyataan bahwa a x 0 = 0 dan a x (-1) = -a

-a x 0                      = 0

-a x (b + (-b))          = 0

-a x b + (-a) x (-b)   = 0

-ab + (-a)(-b) = 0

Sesuai Hukum Invers Jumlah bahwa ( ab + (-ab) = 0 ) , maka

-ab + (-a)(-b) = ab + (-ab)

(-a)(-b) = ab                                    (masing2 ruas ditambah ( ab ) )

 (-a) x (-b) = ab

TERBUKTI