Keterbagian Bilangan

Kita sering kali kebingungan untuk menentukan suatu bilangan habis dibagi 3, 4, 8, atau angka lainnya. Apalagi kalau sudah ketemu dengan angka yang super besar. Contohnya, Kita disuruh menentukan apakah 8.767.315.884 habis dibagi 3 atau tidak ?? Pastinya sangat merepotkan bukan, kalau kita harus membagi Bilangan tersebut dengan 3 ?? 

Oke..sekarang saya mau berbagi pengetahuan tentang keterbagian bilangan, selamat membaca :D

Habis dibagi 2^n ( ^=pangkat )

Suatu bilangan dkatakan habis dbagi  oleh 2^n jika dan hanya jika n digit terakhirnya habis dibagi 2^n

Contoh : 1324 habis dibagi 4 karena 2 digit terakhirnya (24) habis dibagi 4

              6248 habis dibagi 8 karena 3 digit terakhirnya (248) habis dibagi 8

Habis dibagi 3

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi 3 jika dan hanya jika ‘Jumlah digit-digitnya’ habis dibagi 3

Contoh : 2472 habis dibagi 3 karena ( 2 + 4 + 7 + 2 ) habis dibagi 3

             126 habis dibagi 3 karena ( 1 + 2 + 6 ) habis dibagi 3

Habis dibagi 5

Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka satuannya adalah 0 atau 5

Contoh : 2335 habis dibagi 5 karena angka satuannya adalah 5

              198.760 habis dibagi 5 karena angka satuannya adalah 0

Habis dibagi 9

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi 9 jika dan hanya jika ‘Jumlah digit-digitnya’ habis dibagi 9

Contoh : 2457 habis dibagi 9 karena ( 2 + 4 + 5 + 7 ) habis dibagi 9

              135 habis dibagi 9 karena ( 1 + 3 + 5 ) habis dibagi 9

Habis dibagi 11

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi 11 jika dan hanya jika Selisih antara ‘Penjumlahan angka pada urutan ganjil’ dengan ‘Penjumlahan angka pada pada uruta genap’ habis dibagi 11

Contoh : 9185 habis dibagi 11 karena ((9+8)-(1+5)) habis dibagi 11

              121 habis dibagi 11 karena (1+1)-2 habis dibagi 11

Pembuktian 0! dan 1!

Assalamu 'alaikum wr. wb

Saya tiba2 teringat dengan pertanyaan saya 3 tahun silam...waktu itu saya masih duduk di bangku kelas 2 SMA, guru menjelaskan tentang peluang...nah di dalamnya dijelaskan juga tentang bilangan faktorial, misalkan
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Terus guru saya memberitahu juga bahwa 1! = 1 dan 0! = 1  ... tiba2 saja pertanyaan langsung terlontar
'Kenapa 0! = 1 ????'
'Kenapa 0! bukan 0 ????'
Teman2 juga mungkin pernah bertanya-tanya seperti itu, dan kesal rasanya kalau guru menjawab 'Karena memang sudah begitu!!'. Alhamdulillah sekarang saya sudah menemukan jawabannya, dan saya merasa bersalah kalau tidak memberitahukannya kepada teman-teman. Oke, langsung ke topik :

n! = n x (n-1)!
Nah, masukan n = 2
2!       = 2 x (2-1)!
2 x 1   = 2 x 1!
2         = 2 x 1!                      Kalikan kedua ruas dengan 1/2
1!       = 1

Sekarang untuk 0! = 1, masukkan n=1
1!   = 1 x (1-1)!
1    = 1 x 0!
0!   = 1

Nah, itulah pembuktian tentang 0! dan 1! ,,, semoga bermanfaat

Pembuktian Perkalian Bilangan Dengan 0 atau Bilangan Negatif

Sebelum melakukan pembuktian, saya terlebih dahulu ingin memperkenalkan beberapa sifat dalam pengoperasian bilangan :

Hukum Komutatif.  x + y = y + x

Hukum Asosiatif.  x + (y + z) = (x + y) + z

Hukum Distributif.  x (y + z) = xy + xz

Identitas.  x + 0 = x , x.1 = x

Invers  . x + (-x) = 0 , dan x (1/x) = 1

Pembuktian a x 0 = 0

a x 1                = a

a x (1 + 0)        = a

a x 1 + a x 0     = a

a + a x 0          = a

a + (-a) + a x 0 = a + (-a)

a x 0               = 0

TERBUKTI

Pembuktian a x (-1) = -a

Kita akan gunakan pernyataan di atas yang telah terbukti, yaitu a x 0 = 0

      a x 0                     = 0

      a x (1 + (-1))          = 0

      a x 1 + a x (-1)       = 0

a + a x (-1)             = 0

Sesuai hukum Invers Jumlah bahwa (a + (-a) = 0 ) , maka

a + a (-1) = a + (-a)

a (-1) = -a                                 (masing2 ruas ditambah dengan (-a) )

TERBUKTI

Pembuktian –a x 0 = 0

-a x 1                  = -a

-a (1 + 0)            = -a

-a x 1 + (-a) x 0  = -a

-a + (-a) x 0        = -a                 Masing2 ruas ditambah a

-a x 0                  = 0

TERBUKTI

Pembuktian (-a) x (-b) = ab

Kita gunakan pernyataan bahwa a x 0 = 0 dan a x (-1) = -a

-a x 0                      = 0

-a x (b + (-b))          = 0

-a x b + (-a) x (-b)   = 0

-ab + (-a)(-b) = 0

Sesuai Hukum Invers Jumlah bahwa ( ab + (-ab) = 0 ) , maka

-ab + (-a)(-b) = ab + (-ab)

(-a)(-b) = ab                                    (masing2 ruas ditambah ( ab ) )

 (-a) x (-b) = ab

TERBUKTI

Bilangan Bulat Positif Merupakan Penjumlahan Bilangan Pangkat Berbasis 2

Terinspirasi dari Kuliah Bahasa Inggris I, kita disuruh membaca sekaligus mengartikan materi yang disajikan. Kebetulan materi yang diberikan sangat menarik, yaitu Ancient Egyptian Arithmatic alias Aritmatika Zaman Mesir Kuno. Sambil menjelaskan arti kata-kata bahasa inggrisnya, bu dosen juga menjelaskan tentang aritmatika mesir kuno..hebat, dosen bahasa inggris tapi juga banyak tau tentang matematika. oke..kembali ke laptop !! 

Pada zaman mesir kuno, untuk mengalikan dua buah bilangan, mereka menhindari perkalian yang sulit..mereka terlebih dahulu menguraikan perkalian dua bilangan menjadi perkalian suatu bilangan dengan bilangan kelipatan dua, lalu menjumlahkannya. Bingung ?? Kalau begitu kita langsung ke contohnya..

Misalkan perkalian 19 x 17 , berdasarkan sistem hindu dan arab (yang hingga saat ini kita pakai secara umum) kita kerjakan dengan perkalian bersusun yang sudah diperkenalkan sejak SD. Namun orang-orang mesir kuno menggunaka cara lain, seperti ini :

Matematika Untuk Menyatakan Cinta

Banyak orang yang bilang kalau matematika itu membosankan, kaku, itu-itu aja, a b c, x y z, bla bla bla.. Itu kalau dia kenal matematika cuma kulitnya saja..padahal kalau kita gali lebih dalam lagi, banyak hal-hal menarik yang didapat.

Saya juga baru tau dari guru SMA saya, Pak Syahrani, S.Si., dia bilang kalau sekarang orang bisa juga menyatakan cinta dengan menggunakan MATEMATIKA. Ternyata yang dimaksud oleh beliau adalah persamaan matematika yang ketika kita masukan nilai x dan y maka gambar grafiknya akan menjadi love (heart) .. persamaannya tuh kayak gini

x^2 + (y-x^(2/3))^2 = 1
^ = pangkat

 Saya nulisnya kayak gitu karena kalau di software memang nulis persamaannya harus gitu..

 Nah kalau kita gambar menggunakan software GRAPH hasilnya jadi gini

Gimana?? keren kan...mathematics is beautifull..

Kalau kamu mau buktiin gambar di atas, ikuti langkah-langkah berikut :

1. Download Software GRAPH di http://download.cnet.com/Graph/3000-2053_4-10063417.html
2. Kalau sudah didownload, buka softwarenya
3. Di Menu Bar ada tulisan 'Function', klik
4. Ada tulisan 'Insert Relation', klik
5. Muncul jendela 'Insert Relation'. Nah masukkan persamaan x^2 + (y-x^(2/3))^2 = 1 di kolom 'Relation'
6. Klik, OK